Contribuição de Heráclito:-
Os filósofos milesianos (Tales, Anaximandro, etc) haviam percebido o dinamismo das mudanças que ocorrem na physis, como o nascimento, o crescimento e o perecimento, mas não chegaram a problematizar a questão. Heráclito, inserido dentro do contexto pré-socrático, parte do princípio de que tudo é movimento, e que nada pode permanecer estático. "Panta rhei", sua "máxima", significa "tudo flui", "tudo se move". Ele exemplifica, dizendo que não podemos entrar duas vezes no mesmo rio, porque, ao entrarmos pela segunda vez, não serão as mesmas águas que estarão lá, e a pessoa mesma já será diferente (de fato, a Biologia veio a descobrir muito mais tarde que nossas células estão em constante renovação, e isso é uma mudança).
Mas tal questão é apenas um pressuposto de uma doutrina que vai mais além. O devir, a mudança que acontece em todas as coisas é sempre uma alternância entre contrários: coisas quentes esfriam, coisas frias esquentam, coisas úmidas secam, coisas secas umedecem, etc. A realidade acontece, então, não em uma das alternativas, que são apenas parte da realidade, e sim da mudança ou, como ele chama, na guerra entre os opostos. Esta guerra é a realidade, aquilo que podemos dizer que é. Mas essa guerra da qual fala Heráclito não tem essa conotação de violência ou algo semelhante. Tal guerra é que permite a harmonia e mesmo a paz, já que assim é possível que os contrários possam existir: "A doença faz da saúde algo agradável e bom", ou seja, se não houvesse a doença, não haveria porque valorizar-se a saúde, por exemplo. Ele ainda considera que, nessa harmonia, os opostos coincidem da mesma forma que o princípio e o fim, em um círculo, ou a descida e a subida, em um caminho (pois o mesmo caminho é de descida e de subida); o quente é o mesmo que o frio, pois o frio é o quente quando muda (ou, dito de outra forma: o quente é o frio depois de mudar, e o frio, o quente depois de mudar, como se ambos, quente e frio, fossem "versões" diferentes da mesma coisa).
Inserido no contexto pré-socrático, Heráclito definiu, partindo de seus pressupostos (o "panta rhei" e a guerra entre os contrários) uma arché, um princípio de todas as coisas: o fogo. Para ele, "todas as coisas são uma troca do fogo, e o fogo, uma troca de todas as coisas, assim como o ouro é uma troca de todas as mercadorias e todas as mercadorias são uma troca do ouro", ou seja, todas as coisas transformam-se em fogo, e o fogo transforma-se em todas as coisas. De seus escritos restaram poucos fragmentos, (encontrados em obras posteriores), os quais geraram grande número de obras explicativas.
A cosmologia de Heráclito:-
Para Heráclito, o fogo é o elemento primordial de todas as coisas. Tudo se origina por rarefação e tudo flui como um rio. O cosmos é um só e nasce do fogo e de novo é pelo fogo consumido, em períodos determinados, em ciclos que se repetem pela eternidade.
Em seu livro - Do Céu, Aristóteles escreve: “Concordam todos em que o mundo foi gerado; mas, uma vez gerado, alguns afirmam que é eterno e outros que é perecível, como qualquer outra coisa que por natureza se forma. Outros, ainda, que, destruindo-se, alternadamente é ora assim, ora de outro modo, como Empédocles e Heráclito de Éfeso. (...) Também Heráclito assevera que o universo ora se incendeia, ora de novo se compõe do fogo, segundo determinados períodos de tempo, na passagem em que diz – Acendendo-se em medidas e apagando-se em medidas.”
Para Heráclito, condensado o fogo se umidifica, e com mais consistência torna-se água, e esta, solidificando-se, transforma-se em terra e a partir daí, nascem todas as coisas do mundo. Este é o caminho que Heráclito define como sendo “para baixo”.
Derretendo-se a terra obtém-se água. Água transforma-se em vapor, tal como vemos na evaporação do mar. E rarefazendo-se o vapor transforma-se novamente em fogo. E este é o caminho “para cima”.
Nosso mundo é cercado pelos astros (Sol, Lua, e estrelas). Esses nada mais são do que barcos cujas concavidades estão voltadas para nós, e que carregam dentro de si chamas brilhantes. A mais brilhante é a chama do Sol e também a mais quente. Os demais astros distam mais da Terra e é por isso que seu brilho é menos vivo e menos quente, mas a Lua, que está bem próxima da Terra, não é por isso, mas por não se encontrar num espaço puro – a escuridão. O Sol, entretanto, está em região clara e pura.
Os eclipses do Sol e da Lua acontecem quando as concavidades dos barcos se voltam para cima. E as fases da Lua ocorrem quando o barco que a encerra se volta aos poucos em nossa direção.
Dia e noite, meses e estações, chuvas, ventos e demais fenômenos são conseqüências de diferentes evaporações. Pois a brilhante evaporação inflamando-se no círculo do Sol produz o dia, e quando a contrária prevalece produz a noite; e quando da evaporação brilhante nasce o calor faz verão, mas quando da sombra o úmido prevalece faz-se o inverno.
O Deus e a alma:-
Dentro do pensamento de Heráclito, Deus não tinha a aparência de um homem nem de outro animal qualquer. Deus não era nem criador, nem onipotente. Heráclito limitava-se a identificá-lo com os opostos, os quais persistem apesar de suas mudanças e assim são capazes de compreender sua própria unidade.
“O Deus é dia-noite, inverno-verão, guerra-paz, saciedade-fome; mas se alterna como o fogo, quando se mistura a incensos, e se denomina segundo o gosto de cada um.”
Nesse argumento, podemos ver que Heráclito considerava as diversas divindades da mitologia grega, que eram adoradas pelos homens de seu tempo, como sendo apenas fogo misturado a diferentes tipos de incensos.
E a alma consiste apenas de mais uma rarefação do fogo e sofre as mesmas mudanças que todas as outras coisas também experimentam; e a morte traz a completa extinção da alma.
“Para almas é morte tornar-se água, e para água é morte tornar-se terra, e de terra nasce água, e de água alma.”
Novamente aqui, nesse raciocínio, vemos Heráclito descrever seus caminhos “para baixo” e “para cima”.
Pitágoras (570-496 a. C.)
 
Pitágoras representado por Rafael Sanzio em sua celebrada pintura
Pitágoras (570-500 a. C.) foi um matemático grego, tendo sido também líder religioso, místico, sábio e filósofo. Nasceu em Samos, uma ilha grega na costa marítima do que hoje é a Turquia. Viajando a Mileto, uma cidade grega 50 quilômetros a sudeste de Samos, aprendeu Matemática com Tales (624-546 a. C.), considerado o fundador da Matemática grega. Segundo antigos historiadores, Pitágoras viajou para o Egito e para a Babilônia, onde é provável que tenha se encontrado com o profeta Daniel. É provável também que Pitágoras tenha estudado na Índia. Sua crença na reencarnação talvez tenha origem indiana. Um de seus contemporâneos é Buda, e é provável que Pitágoras e Buda tenham se encontrado. Em torno de 525 a. C. Pitágoras mudou-se para Crotona, uma cidade ao sul da Itália, onde fundou a Ordem (Escola) Pitagórica. Casou-se com Teano, provavelmente a primeira mulher matemática da história.
A Escola Pitagórica
O termo Escola Pitagórica se refere a uma escola filosófica no sentido histórico cuja existência se prolongou por mil anos desde sua fundação. O modo de vista e as doutrinas atribuídas a Pitágoras, provenientes de sua escola, recebem o nome de pitagorismo. Segundo historiadores a Escola Pitagórica tinha um caráter peculiarmente duplo. Por um lado, como parte dessa espiritualização, incluía estudos de Matemática, Astronomia e Música, o que lhe imprimiu um caráter também científico, no sentido moderno da palavra. O estuda da Matemática - confundindo-se com a filosofia, pois "tudo é número" - era feito para promover a harmonia da alma com o cosmo. Dentre os princípios filosóficos que norteavam a escola pitagórica, destacam-se: a alma é imortal e reencarna-se; os acontecimentos da história repetem-se em certos ciclos; nada é inteiramente novo; todas as coisas são afins; os princípios da Matemática são os princípios de todas as coisas. Dentre os principais nomes da Escola Pitagórica destamos: Filolaus de Tarento (nasceu c. 470 a. C. e morreu c. 390 a. C.), Arquitas de Tarento (nasceu em 428 a. C. aproximadamente) e Hipasus de Metapontum (viveu por volta de 400 a. C.). O pitagorismo influenciou fortemente as obras de Demócrito de Abdera e Platão. Alguns séculos mais tarde houve uma revivência da Escola Pitagórica, e seus protagonistas passaram a ser chamados de neo-pitagóricos. Dentre esses destacamos Nicômaco de Gerasa, que viveu em torno do ano 100.
Tudo é Número
Os Pitagóricos chegaram à razoável conclusão, em seus estudos, de que "tudo são números". Essa afirmação parece ter sido fortemente influenciada por uma descoberta importante da Escola Pitagórica, a explicação da harmonia musical através de frações de inteiros.
Os Pitagóricos notaram haver uma relação matemática entre as notas da escola musical e os comprimentos de uma corda vibrante. Uma corda de determinado comprimento daria uma nota. Reduzida a 3/4 do seu comprimento, daria uma nota uma quinta acima. Reduzia à metade de seu comprimento, daria uma nota uma oitava acima. Assim os números 12, 8 e 6, segundo Pitágoras, estariam em "progressão harmônica", sendo 8 a média harmônica de 12 e 6. A média harmônica de dois números a e b é o número h dado por 1/h = (1/a + 1/b) 2.
Pitágoras dava especial atenção ao número 10, ao qual ele chamava de número divino. Dez era a base de contagem dos gregos, e dez são os vértices da estrela de Pitágoras. "A estrela de Pitágoras" é a estrela de cinco pontas formada pelas diagonais de um pentágono regular. O pentágono regular era de grande significação mística para os Pitagóricos e já era conhecido na antiga Babilônia.
Pentágono de cinco pontas:
Figuras de muitos significados para a Matemática e a Filosofia da Escola Pitagórica. As diagonais do pentágono regular cortam-se em pontos de divisão áurea. O ponto de divisão áurea de um segmento AB é o ponto C desse segmento que o divide de modo que a razão entre a parte menor e a parte maior é igual à razão entre a parte maior e o todo, ou seja, AC/AB = CB/AB. Para os antigos gregos, o retângulo áureo, isto é, de lados proporcionais aos segmentos AC e CB, é o retângulo de maior beleza.
A ÁRVORE DE PITÁGORAS
A figura em forma de árvore da página de abertura do hipertexto Pitágoras é um Fractal Tridimensional chamado Árvore de Pitágoras.
Nossa versão da árvore de Pitágoras foi construída por Yolanda Kioko Saito Furuya com o Aplicativo Maple V, adaptando uma figura de Harman Derksen.
A figura da Árvore de Pitágoras nos recorda que a Matemática é às vezes comparada com uma árvore, com raízes (Fundamentos da Matemática), tronco (estruturas numéricas e geométricas) e galhos (os principais são a Álgebra, a Análise e a Geometria). Independentemente de ser ou não apropriada essa comparação, vamos fazer uma breve descrição da Matemática, conforme a vemos hoje.
O que é Matemática
Os matemáticos, em geral, preferem se abster de definir a Matemática. Penso que isso se deve a um sentimento ou a uma impressão de que, apesar do muito que já foi conseguido no desenvolvimento dessa ciência, algo de grande importância ainda precisa ser compreendido, conforme sugere a citação. Conscientes do caráter efêmero de tudo que é construído pelo homem, talvez seja mais prudente aguardar o amadurecimento dos tempos, e limitar nossas considerações à descrição do que tem sido efetivamente conseguido.
Quanto ao uso da palavra matemática diz a tradição que isso teve origem com Pitágoras. Segundo Anglin [1] pág. 33, a raiz do termo matemática deriva de uma língua Indo-Européia e seu significado é relacionado com a palavra mente.
A crise na Escola Pitagórica
Uma das mais importantes descobertas da Escola Pitagórica foi a de que dois segmentos nem sempre são comensuráveis, ou seja, nem sempre a razão entre os comprimentos de dois segmentos é uma fração de números inteiros (número racional). Essa descoberta foi uma conseqüência direta do teorema de Pitágoras: se um triângulo retângulo tem catetos de comprimento 1, sua hipotenusa terá um comprimento x satisfazendo x² = 2, e portanto a razão entre a hipotenusa e um cateto não será uma fração de dois inteiros, já que a raiz quadrada de 2 é um número irracional. Parece que isso desgostou profundamente os Pitagóricos pois era uma descoberta inconciliável com a teoria dos números pitagórica. Somente no século IV a. C., Eudoxo, com sua teoria das proporções, redefiniu um conceito mais geral da razão entre dois segmentos, permitindo, em sua teoria, definir-se a razão entre dois segmentos comensuráveis ou não.
Representação gráfica do teorema de Pitágoras
Sentenças pitagóricas:
- Todas as coisas se assemelham aos números.
- Educai as crianças e não será preciso punir os homens.
- Quem não domina a si mesmo não encontra a liberdade.
- Faz aquilo que achares justo mesmo que o outro pense diferente.
- Quem fala semeia, quem escuta colhe.
- Ajude os outros com a carga, mas não a carregues por eles.
- A vida é como um espetáculo, entramos nele, vemos o que ele nos mostra e dele saímos no final.
- Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem.
Período Clássico
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Castelo da época do feudalismo
O que se tem conhecimento é que na Biblioteca de D. Duarte – 1391 a 1438, haviam escritos de algumas novelas, tais como Tristão, o Livro de Galaax e o Mago Merlim. Isso comprova a consideração por essas novelas, bem como, a influência no comportamento e costumes dos frequentadores da realeza nos palácios portugueses. Com exceção de Amadis de Gaula ficaram somente: História de Merlim, José de Arimatéia e a Demanda do Santo Graal.
